BILANGAN.. BOLEHH JUGA...!!!

BILANGAN

View more presentations from intannatni.

Cara Membuat Daftar Isi Otomatis

Sering kali kita mengalami kesulitan saat harus membuat daftar isi. Banyak orang yang belum tahu bahwa MS word, baik 2003 maupun versi 2007 mampu membatu kita membuat daftar isi otomatis.

1. Buat style dari masing-masing bagian yang akan dimasukkan ke dalam daftar isi.

a. Bagian judul
– Blok judul

– Atur format huruf sesuai dengan keinginan, seperti ukuran huruf, center, dll => Klik styles pada panah ketiga terbawa

– Klik save selection as a new quick styles => isi nama stye, contoh: judul

b. Sub bab
Blok sub judul => ikuti seperti langkah-langkah serupa di atas.
Akhirnya sampai pada Klik save selection as a new quick styles => isi nama style,

c. Sub sub bab
Blok sub sub judul => ikuti seperti langkah-langkah serupa di atas.
Akhirnya sampai pada Klik save selection as a new quick styles => isi nama style,

2. Buat semua bagian (judul, sub judul, sub sub judul) sesuai dengan style yang sudah dibuat sebelunnya (poin 1 di atas) misalnya sub judul: rumusan masalah
– Blok sub judul: rumusan masalah

– Begitu juga dengan bagian yang lain. Sampai akhir bab. Disarankan untuk tidak menggunakan nomor otomatis dalam penomoran sub bab ataupun sub sub bab

Bila telah membuat style pada semua bagian, kita sudah bisa membuat daftar isi..

Buat halaman baru di awal, sebagai halaman Daftar Isi:
Page layout => breaks => newpage
Tulis judul daftar isi
buat style untuk daftar isi dgn style yang sesuai, dalam hal ini style judul

Cara membuat daftar isi:
References => table of content => insert table of content => option => isi sesuai dengan bagian style yang ingin kita masukkan ke daftar isi. dalam hal ini contohnya (judul, sub judul, sub sub judul). Isi 1, 2 atau 3 dst sesuai dengan keinginan kita menjorokkan bagian ini. => ok => ok
Langsung jadi daftar isi => edit seperlunya.

3. Bagaimana bila terjadi penambahan sub judul?
Yang harus dilakukan cukup Klik mouse bagian kanan pada daftar isi yang telah jadi => Update field => update entire table => OK

4. Bagaimana bila terjadi perubahan pada nomor halaman ?
Yang harus dilakukan cukup Klik mouse bagian kanan => Update field => update page number only => OK

5. Apa bisa membuat Daftar tabel, Daftar Gambar dll ?
Bisa, prinsipnya bahwa setiap bagian (judul tabel, judul ganbar, judul lampiran) masing-masing harus dibuat style.
Langkah selanjutnya tinggal membuat Halaman Baru (lihat bagian 2) untuk masing-masing Daftar, yang selanjutnya tinggal membuat TOC seperti langkahi bagian 2.
Bila muncul Pesan di bawah, pilih No.

http://eritristiyanto.wordpress.com/2010/02/07/cara-membuat-daftar-isi-otomatis-dgn-ms-word-2007/

PELUANG

 SEJARAH PELUANG

Teori peluang muncul dari inspirasi para penjudi yang berusaha mencari informasi bagaimana kesempatan mereka untuk memenangkan suatu permainan judi. Girolamo Cardono (1501-1576), seorang penjudi matematikawan dan fisikawan adalah orang pertama yang telah menulisakan analisis matematika dari masalah masalah dalam permaianan judi. Adapun dasar-dasar dari teori peluang (teori probabilitas) modern berasal dari penelitian Pascal dan Fermat, keduanya adalah matematikawan paro waktu. Pascal adalah fisikawan dan matematikawan yang lebih banyak tertarik pada filosofi dan agama, sedangakan Fermat adalah seorang hakim. Penelitian keduanya didasarkan pada teka-teki matematika yang diajukan oleh bangsawan Prancis yang merupakan penjudi professional, Chevalier de Mere pada tahun 1654. Teka-teki nya yaitu

Ayo, manakah yang lebih mungkin terjadi mendapatkan paling tidak satu mata enam dalam empat kali melempar
dadu ataukah mendapat setidaknya sepasang mata enam dalam 24 kali melempar sepasang dadu ?
Walaupun teori peluang awalnya lahir dari masalah peluang memenangkan permainan judi, tetapi teori ini segera menjadi cabang matematika yang digunakan secara luas. Teori ini meluas penggunannya alam bisnis meteorology, sains, dan industri. Misalnya perusahaan asuransi jiwamenggunakan peluang untuk menaksir berapa lama seseorang mungkin , dokter menggunakan peluang untuk memprediksi kesuksesan sebuah pengobatan, akli meteorlogi menggunakan peluang untuk meramalkan kondisi –kondisi cuaca, peluang digunakan dalam studi kelakuan molekul-molekul dalam suatu gas, peluang juga digunakan untuk memprediksi hasil-hasil sebelum hari pemilihan umum. Bahkan PLN menggunakan teori peluang dalam meramalkan pengembangan system pembangkit listrik dalam menghadapi perkembangan beban listrik di masa depan.

TOKOH-TOKOH YANG BERJASA DALAM ILMU PELUANG
Pierre de Fermat (1601-1665)

Pierre de Fermat adalah seorang hakim. Kemahiran matematikanya yang luar biasa memungkinkannnya memberi sumbangan besar pada matematika tingkat tinggi antara lain teori bilangan dan kalkulus diferensial. Ketika ia mengklaim bahwa ia telah membuktikan beberapa teorema matematika ia selalu berkata benar. “Teori Akhir Fermat” yang menyebabkan ia terkenal, akhirnya terbukti 300 tahun kemudian, yati pada tahun 1994 oleh Andrew Willes. Fermat dan Pascal adalah peletak dasar teori peluang modern.



 

Blaise Pascal (1632-1662)

Blaise Pascal merupakan pendiri teori peluang selain Fermat, yang mengembangkan prinsip- prinsip dari subjek ini dalam surat menyurat antara keduanya selama tahun 1654. Pascla juga terkenal dengan segitiga angka-angka yang merupakan koefisien dari ekspansi binomial.

 Peluang (matematika)

Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah terjadi. Konsep ini telah dirumuskan dengan lebih ketat dalam matematika, dan kemudian digunakan secara lebih luas dalam tidak hanya dalam matematika atau statistika, tapi juga keuangan, sains dan filsafat.

Konsep matematika

Probabilitas suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Nilainya di antara 0 dan 1. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi atau sesuatu yang telah terjadi[1]. Misalnya matahari yang masih terbit di timur sampai sekarang. Sedangkan suatu kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin terjadi. Misalnya seekor kambing melahirkan seekor sapi.

Probabilitas/Peluang suatu kejadian A terjadi dilambangkan dengan notasi P(A), p(A), atau Pr(A). Sebaliknya, probabilitas [bukan A] atau komplemen A, atau probabilitas suatu kejadian A tidak akan terjadi, adalah 1-P(A). Sebagai contoh, peluang untuk tidak munculnya mata dadu enam bila sebuah dadu bersisi enam digulirkan adalah :     

 

Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

Menggunakan SPSS

Menggunakan SPSS

SPSS (Statistical Program for Social Science) merupakan paket program aplikasi komputer untuk menganalisa data terutama untuk ilmuilmu sosial. Namun demikian, denga SPSS kita bisa membuat laporan tabulasi, chart (grafik), plot (diagram), statistik deskriptif dan analisa statistik yang kompleks. Karena SPSS merupakan paket program untuk mengolah dan menganalisa data, maka untuk menjalankan program ini terlebih dahulu harus dipersiapkan data yang akan diolah dan dianalisa. SPSS for windows menggunakan 6 tipe window, yaitu SPSS Data Editor, Output Window, Syntax Window, Chart Carousel, Chart Window, dan Help Window.

A.     REGRESI LINIER BERGANDA

Analisa regresi merupakan metode statistika yang mencari hubungan antara 2 peubah, yaitu peubah bebas (X) dan peubah tak bebas (Y). Jika variabel tak bebas (Y) dihubungkan lebih dari satu variabel bebas (X), maka didapat persamaan regresi linier berganda (multiple Linear Regression)

Model :

Tahapan penyusunan model regresi berganda meliputi :

· Menentukan mana variabel bebas (independen) dan mana variabel tak bebas (dependen)

· Menentukan metode pembuatan model regresi (enter, Stepwise, Forward, Backward)

· Melihat ada tidaknya data yang outlier (ekstrim)

· Menguji asumsiasumsi

pada regresi berganda, sepert normalitas, linieritas,

heteroskedastisitas, multikolinieritas, autokorelasi dan lainnya.

· Menguji signifikansi model (uji t, uji F dan sebagainya)

· Interpretasi model regresi berganda

Untuk SPSS, prosedur regresi linier menyediakan 5 macam metode untuk menyusun persamaan regresi, yaitu pemilihan Enter, Stepwise, Forward, Eliminasi Backward dan removal. Karena regresi berganda cukup kompleks dan bervariasi, pada modul ini akan dijelaskan prosedur pembuatan model regresi berganda dan uji signifikansinya dengan metode enter.

Contoh :

Suhu plat pembungkus dan jarak plat pembungkus dalam mesin pembungkus sabun

mempengaruhi persentase sabun terbungkus yang lolos inspeksi. Beberapa data tentang peubah

itu talah dikumpulkan, yaitu sebagai berikut :

a.       Gunakan moodel linier dan tentukan nilai dugaan bagi

b.      Apakah secar keseluruhan regresi itu nyata ? (guanakan =0.05)

c.        Apakah salah satu variabel itu lebih bermanfaat daripada yang lain didalam meramalkan

             persentase sabun yang terbungkus rapi ?

d.      Apa saran anda berkaitan dengan bekerjanya mesin pembungkus ini ?

Jawab :

Dari menu utama SPSS, pilih menu Analyze Regression Linear, Dependent : Y, Independent (s) : X1, X2, Method : Enter OK

Hasil Analisa :

Interpretasi :

4. Model Summary

·        Angka R sebesar 0.865 menunjukkan bahwa korelasi / hubungan antara variabel tak bebas Y (persentase sabun terbungkus) dengan 2 variabel bebas X (jarak dan suhu plat pembungkus) adalah sangat kuat.

·        Angka R square atau koefisien determinasi adalah 0.747 (berasal dari 0.865 x 0.865).Namun  karena jumlah variabel bebas lebih dari dua maka lebih baik digunakan Adjusted Rsquare, yang bernilai 0.709 (yang selalu lebih kecil dari R square). Hal ini berarti bahwa 70.9% variasi dari Y = persentase sabun terbungkus, bisa dijelaskan oleh variasi dari X = pendapatan mingguan keluarga. Sedangkan sisanya (100% 95.7% = 4.3%) dijelaskan oleh sebabsebab yang lain.

·        Standard Error of Estimate (SEE) adalah 6.49 atau $6.49 (satuan yang dipakai

adalah variabel tak bebas). Makin kecil SEE akan membuat model regresi semakin tepat dalam memprediksi variabel dependen

5. ANOVA

Dari uji ANOVA atau Ftest, didapat Fhitung adalah 202.868 dengan tingkat signifikansi 0.000.

Karena probabilitas (0.000) jauh lebih kecil dari 0.05, maka model regresi bisa dipakai untuk memprediksi Y.

6. Koefisien Regresi

·        Persamaan Regresi : Y = 24.455 + 0.509X

·        Konstanta sebesar 24.455 menyatakan bahwa jika tidak ada pendapatan

mingguan keluarga, maka belanja konsumsi mingguan keluarga adalah $24.455

·        Koefisien regresi 0.509 menyatakan bahwa setiap penambahan (karena tanda +) $1 pendapatan mingguan keluarga akan meningkatkan belanja konsumsi keluarga sebesar $0.509

·        Uji t untuk menguji signifikansi konstanta dan variabel bebas

Hipotesis :

H0 : Koefisien regresi tidak signifikan

H1 : Koefisien regresi signifikan

Pengambilan keputusan (berdasarkan probabilitas)

Jika probabilitas > 0.05 maka Ho diterima

Jika probabilitas < 0.05 maka Ho ditolak

Keputusan :

Terlihat bahwa pada kolom sig / significance : variabel X mempunyai angka signifikan 0.000 (di bawah 0.05). Karena itu, X = pendapatan mingguan keluarga memang mempengaruhi Y= belanja konsumsi mingguan keluarga.

BELAJAR POWER POINT

Cara buat presentasi baru Power point 2007
4/7/09

Anda bisa mulai presentasi baru yang kosong dari slide, template, ada presentasi, atau Word outline.

Untuk membuat presentasi baru yang kosong:
Klik Tombol 'Microsoft Office'
Klik 'New'
Klik 'Blank Presentasi '

 Untuk membuat presentasi baru dari template:
Klik Tombol 'Microsoft Office
Klik 'New'
Klik 'Installed Templates atau Browse' melalui Microsoft Office Online Templates
Klik 'template' yang Anda pilih

Untuk membuat presentasi baru dari presentasi yang ada:
Klik Tombol 'Microsoft Office'
Klik 'New'
Klik 'New from Existing'
Kemudian klik 'Browse' untuk presentasi

Untuk membuat presentasi baru dari outline Word:
Klik slide dimana anda ingin garis besar untuk memulai
Klik 'New Slide' pada tab Home
Klik 'Slides' dari Outline
Browse dan klik 'Word Dokumen' yang berisi outline

Menyimpan PresentasiBila Anda menyimpan presentasi, Anda memiliki dua pilihan: Simpan atau Simpan Sebagai.
Untuk menyimpan dokumen:
Klik Tombol 'Microsoft Office'
Klik 'Save'

Anda mungkin harus menggunakan fitur Save As bila Anda perlu menyimpan presentasi dengan nama yang lain atau menyimpannya untuk PowerPoint versi sebelumnya.
Ingat bahwa versi PowerPoint tidak akan dapat membuka presentasi PowerPoint 2007, kecuali jika Anda menyimpannya sebagai Format PowerPoint 97-2003.

Untuk menggunakan fitur Save As:
Klik Tombol 'Microsoft Office'
Klik 'Save As'
Ketik nama untuk Presentasi
Dalam kotak Simpan sebagai Jenis, pilih Power point 97-2003 Presentation

Themes/Tema
Tema tersebut adalah desain template yang dapat diterapkan untuk seluruh presentasi yang memungkinkan untuk konsistensi seluruh presentasi. Untuk menambahkan tema untuk presentasi:
Klik tab 'Design'
 Pilih salah satu yang ditampilkan Tema atau klik tombol GalleriesUntuk menerapkan baru warna tema:
Klik panah drop-down Warna
Memilih warna color set atau klik Create New Theme Colors

Untuk mengubah background style/latar belakang gaya tema
 Klik tombol 'Background Styles' pada tab Desain

HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangannya yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf kapital seperti A, B, C dsb. Sedangkan untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dsb.

Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan

1. Enumerasi: dengan mendaftarkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.
Contoh:
A = {a, i, u, e, o}

2. Simbol baku: dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati.
Contoh:
P adalah himpunan bilangan bulat positif
Z adalah himpunan bilangan bulat
R adalah himpunan bilangan riil
C adalah himpunan bilangan komplek

3. Notasi pembentuk himpunan: dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggota.
Contoh :
A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat}

4. Diagram Venn: menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yg digambarkan dng segi empat.
Contoh :











Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:



SUBHIMPUNAN
Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang elemen-elemennya adalah diambil dari himpunan tersebut.

* {apel, jeruk}
* {jeruk, pisang}
* {apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai subhimpunan atau himpunan bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:

B adalah himpunan bagian dari A jika setiap elemen B juga terdapat dalam A.




Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka \varnothing juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,


Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,



Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai subhimpunannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.

Subhimpunan sejati dari A menunjuk pada subhimpunan dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.


SUPERHIMPUNAN
Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.




KESAMAAN DUA HIMPUNAN


atau


Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Aljabar

Aljabar

Aljabar adalah cabang matematika mengenai studi tentang aturan operasi dan hubungan , dan pembangunan dan konsep-konsep yang timbul dari mereka, termasuk istilah , polinomial , persamaan dan struktur aljabar . Bersama dengan geometri , analisis , topologi , kombinatorik , dan teori bilangan , aljabar merupakan salah satu cabang utama matematika murni .

aljabar SD sering menjadi bagian dari kurikulum di pendidikan menengah dan memperkenalkan konsep variabel yang mewakili angka . Konsolidasi berdasarkan variabel-variabel yang dimanipulasi menggunakan aturan operasi yang berlaku untuk nomor, misalnya penambahan . Hal ini dapat dilakukan untuk berbagai alasan, termasuk memecahkan persamaan . Aljabar jauh lebih luas daripada aljabar dasar dan studi apa yang terjadi ketika aturan yang berbeda operasi yang digunakan dan ketika operasi dirancang untuk hal-hal lain selain angka. Penambahan dan perkalian dapat digeneralisasi dan definisi yang tepat mereka menyebabkan struktur seperti kelompok , cincin dan bidang , belajar di bidang matematika yang disebut aljabar abstrak .

Sejarah

 

Pada saat Plato , matematika Yunani telah mengalami perubahan drastis. The Yunani menciptakan aljabar geometrik dimana istilah diwakili oleh sisi objek geometris, biasanya garis, yang surat-surat yang berhubungan dengan mereka. Diophantus (abad ke-3 M), kadang-kadang disebut "bapak aljabar", adalah Aleksandria matematikawan Yunani dan penulis serangkaian buku yang disebut Arithmetica . Tersebut berhubungan teks dengan memecahkan persamaan aljabar .

Sedangkan kata aljabar berasal dari bahasa Arab (al-Jabr, الجبر harfiah, restorasi) dan banyak metode dari Arab / matematika Islam , akarnya dapat ditelusuri dengan tradisi sebelumnya, terutama kuno matematika India , yang memiliki pengaruh langsung pada Musa Muhammad bin al-Khawarizmi (c. 780-850). Dia belajar matematika India dan diperkenalkan ke dunia Islam melalui teks aritmatika yang terkenal, Buku tentang Penambahan dan Pengurangan setelah Metode dari India. Dia kemudian menulis Kitab ringkas Perhitungan oleh Penyelesaian dan Balancing , yang didirikan aljabar sebagai disiplin matematika yang independen dari geometri dan aritmatika .

Klasifikasi Aljabar dapat dibagi secara kasar ke dalam kategori berikut:

Dasar aljabar , di mana sifat-sifat operasi pada sistem bilangan real dicatat menggunakan simbol sebagai "pemegang tempat" untuk menandakan konstanta dan variabel , dan aturan-aturan yang mengatur ekspresi matematika dan persamaan melibatkan simbol ini dipelajari. Ini biasanya diajarkan di sekolah di bawah aljabar judul (atau aljabar aljabar menengah dan perguruan tinggi di tahun-tahun berikutnya). Tingkat universitas kursus di teori grup juga dapat disebut aljabar dasar.
Aljabar Abstrak , kadang-kadang juga disebut aljabar modern, di mana struktur aljabar seperti kelompok , cincin dan bidang yang axiomatically didefinisikan dan diselidiki.
Aljabar linear , di mana sifat-sifat khusus ruang vektor yang dipelajari (termasuk matriks );
Aljabar Universal , di mana sifat umum untuk semua struktur aljabar dipelajari.
Teori bilangan aljabar , di mana sifat angka yang dipelajari melalui sistem aljabar. teori Jumlah banyak terinspirasi dari abstraksi asli dalam aljabar.
geometri aljabar berlaku aljabar abstrak terhadap masalah-masalah geometri.
Aljabar kombinatorik , di mana metode aljabar abstrak digunakan untuk mempelajari pertanyaan kombinatorial.

Dasar aljabar  

           aljabar dasar adalah bentuk yang paling dasar dari aljabar. Hal ini diajarkan kepada siswa yang dianggap tidak memiliki pengetahuan tentang matematika di luar prinsip-prinsip dasar aritmatika . Dalam aritmatika, hanya angka dan operasi aritmatika mereka (seperti +, -, ×, ÷) terjadi. Dalam aljabar, nomor sering dinotasikan dengan simbol (seperti a, x, atau y). Ini berguna karena:
Hal ini memungkinkan formulasi umum hukum aritmatika (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan dengan demikian merupakan langkah pertama untuk eksplorasi sistematis properti dari sistem bilangan real .
Hal ini memungkinkan referensi untuk "tidak diketahui" nomor, perumusan persamaan dan studi tentang bagaimana memecahkan ini. (Misalnya, "Cari nomor x seperti yang 3 x + 1 = 10" atau pergi sedikit lebih jauh "Menemukan nomor x sehingga ax + b = c" memimpin ini. Langkah pada kesimpulan bahwa itu bukan sifat nomor khusus yang memungkinkan kita untuk mengatasinya, tetapi operasi yang terlibat.)
Hal ini memungkinkan perumusan fungsional hubungan. (Misalnya, "Jika Anda menjual tiket x, maka keuntungan Anda akan menjadi 3 x - 10 dolar, atau f (x) = 3 x - 10, dimana f adalah fungsi, dan x adalah nomor yang diterapkan fungsi ").

Abstrak aljabar     

Aljabar Abstrak memperluas konsep akrab ditemukan dalam aljabar dasar dan aritmatika dari nomor dengan konsep yang lebih umum.yaitu:

Set : Daripada hanya mengingat berbagai jenis nomor , berkaitan aljabar abstrak dengan konsep yang lebih       umum set: kumpulan dari semua obyek (disebut elemen ) yang dipilih oleh properti, khusus untuk mengatur. Semua koleksi jenis akrab angka ini adalah set. Contoh lain dari set termasuk himpunan semua dua-by-dua matriks , himpunan semua tingkat dua polinomial (ax 2 + bx + c), himpunan semua dua dimensi vektor di pesawat, dan berbagai kelompok terbatas seperti sebagai kelompok siklik yang merupakan kelompok bilangan bulat modulo n. teori Set adalah cabang logika dan tidak teknis cabang dari aljabar.

Operasi Biner : Gagasan penambahan (+) yang disarikan untuk memberikan operasi biner, * katakan. Gagasan operasi biner berarti tanpa set yang operasi didefinisikan. Untuk dua elemen a dan b pada himpunan S, a, b * adalah elemen lain dalam himpunan, kondisi ini disebut penutupan . Penambahan (+), pengurangan (-), perkalian (×), dan pembagian (÷) dapat biner operasi pada saat didefinisikan pada set yang berbeda, seperti penambahan dan perkalian matriks, vektor, dan polinomial.

elemen Identitas : Angka nol dan satu diabstraksikan untuk memberikan gagasan elemen identitas untuk operasi. Zero adalah elemen identitas untuk penambahan dan satu adalah elemen identitas untuk perkalian. Untuk operator * biner umum e elemen identitas harus memenuhi e * = a dan e * a = a. Hal ini berlaku untuk penambahan sebagai + 0 = a dan 0 + a = a dan perkalian a × 1 = a dan 1 × a = a. Tidak semua kombinasi set dan operator memiliki unsur identitas, misalnya, alam nomor positif (1, 2, 3, ...) tidak memiliki elemen identitas untuk penambahan.

elemen Invers : Angka negatif menimbulkan konsep elemen invers. Untuk penambahan, invers adalah -, dan untuk perkalian invers adalah 1 / a. Unsur invers umum, -1 harus memenuhi properti itu bahwa * a -1 = e dan -1 * e =.

Associativity : Penambahan bilangan bulat mempunyai sifat yang disebut associativity. Artinya, pengelompokan nomor yang akan ditambahkan tidak mempengaruhi jumlah tersebut. Sebagai contoh: 2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). (Secara umum, ini menjadi (a * b) * c = a * (b * c). Properti ini dimiliki oleh kebanyakan operasi biner, tetapi tidak pengurangan atau pembagian atau perkalian octonion .

Komutatif : Penambahan dan perkalian bilangan real keduanya komutatif. Artinya, urutan nomor tidak mempengaruhi hasil. Sebagai contoh: 2 +3 = 3 +2. Secara umum, ini menjadi a, b * = b * a. Properti ini tidak berlaku untuk semua operasi biner. Sebagai contoh, perkalian matriks dan perkalian angka empat sama-sama non-komutatif.