Aljabar

Minggu, 24 April 2011

Aljabar

Aljabar adalah cabang matematika mengenai studi tentang aturan operasi dan hubungan , dan pembangunan dan konsep-konsep yang timbul dari mereka, termasuk istilah , polinomial , persamaan dan struktur aljabar . Bersama dengan geometri , analisis , topologi , kombinatorik , dan teori bilangan , aljabar merupakan salah satu cabang utama matematika murni .

aljabar SD sering menjadi bagian dari kurikulum di pendidikan menengah dan memperkenalkan konsep variabel yang mewakili angka . Konsolidasi berdasarkan variabel-variabel yang dimanipulasi menggunakan aturan operasi yang berlaku untuk nomor, misalnya penambahan . Hal ini dapat dilakukan untuk berbagai alasan, termasuk memecahkan persamaan . Aljabar jauh lebih luas daripada aljabar dasar dan studi apa yang terjadi ketika aturan yang berbeda operasi yang digunakan dan ketika operasi dirancang untuk hal-hal lain selain angka. Penambahan dan perkalian dapat digeneralisasi dan definisi yang tepat mereka menyebabkan struktur seperti kelompok , cincin dan bidang , belajar di bidang matematika yang disebut aljabar abstrak .

Sejarah
 


Pada saat Plato , matematika Yunani telah mengalami perubahan drastis. The Yunani menciptakan aljabar geometrik dimana istilah diwakili oleh sisi objek geometris, biasanya garis, yang surat-surat yang berhubungan dengan mereka. Diophantus (abad ke-3 M), kadang-kadang disebut "bapak aljabar", adalah Aleksandria matematikawan Yunani dan penulis serangkaian buku yang disebut Arithmetica . Tersebut berhubungan teks dengan memecahkan persamaan aljabar .

Sedangkan kata aljabar berasal dari bahasa Arab (al-Jabr, الجبر harfiah, restorasi) dan banyak metode dari Arab / matematika Islam , akarnya dapat ditelusuri dengan tradisi sebelumnya, terutama kuno matematika India , yang memiliki pengaruh langsung pada Musa Muhammad bin al-Khawarizmi (c. 780-850). Dia belajar matematika India dan diperkenalkan ke dunia Islam melalui teks aritmatika yang terkenal, Buku tentang Penambahan dan Pengurangan setelah Metode dari India. Dia kemudian menulis Kitab ringkas Perhitungan oleh Penyelesaian dan Balancing , yang didirikan aljabar sebagai disiplin matematika yang independen dari geometri dan aritmatika .

Klasifikasi Aljabar dapat dibagi secara kasar ke dalam kategori berikut:

Dasar aljabar , di mana sifat-sifat operasi pada sistem bilangan real dicatat menggunakan simbol sebagai "pemegang tempat" untuk menandakan konstanta dan variabel , dan aturan-aturan yang mengatur ekspresi matematika dan persamaan melibatkan simbol ini dipelajari. Ini biasanya diajarkan di sekolah di bawah aljabar judul (atau aljabar aljabar menengah dan perguruan tinggi di tahun-tahun berikutnya). Tingkat universitas kursus di teori grup juga dapat disebut aljabar dasar.
Aljabar Abstrak , kadang-kadang juga disebut aljabar modern, di mana struktur aljabar seperti kelompok , cincin dan bidang yang axiomatically didefinisikan dan diselidiki.
Aljabar linear , di mana sifat-sifat khusus ruang vektor yang dipelajari (termasuk matriks );
Aljabar Universal , di mana sifat umum untuk semua struktur aljabar dipelajari.
Teori bilangan aljabar , di mana sifat angka yang dipelajari melalui sistem aljabar. teori Jumlah banyak terinspirasi dari abstraksi asli dalam aljabar.
geometri aljabar berlaku aljabar abstrak terhadap masalah-masalah geometri.
Aljabar kombinatorik , di mana metode aljabar abstrak digunakan untuk mempelajari pertanyaan kombinatorial.

Dasar aljabar  

           aljabar dasar adalah bentuk yang paling dasar dari aljabar. Hal ini diajarkan kepada siswa yang dianggap tidak memiliki pengetahuan tentang matematika di luar prinsip-prinsip dasar aritmatika . Dalam aritmatika, hanya angka dan operasi aritmatika mereka (seperti +, -, ×, ÷) terjadi. Dalam aljabar, nomor sering dinotasikan dengan simbol (seperti a, x, atau y). Ini berguna karena:
Hal ini memungkinkan formulasi umum hukum aritmatika (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan dengan demikian merupakan langkah pertama untuk eksplorasi sistematis properti dari sistem bilangan real .
Hal ini memungkinkan referensi untuk "tidak diketahui" nomor, perumusan persamaan dan studi tentang bagaimana memecahkan ini. (Misalnya, "Cari nomor x seperti yang 3 x + 1 = 10" atau pergi sedikit lebih jauh "Menemukan nomor x sehingga ax + b = c" memimpin ini. Langkah pada kesimpulan bahwa itu bukan sifat nomor khusus yang memungkinkan kita untuk mengatasinya, tetapi operasi yang terlibat.)
Hal ini memungkinkan perumusan fungsional hubungan. (Misalnya, "Jika Anda menjual tiket x, maka keuntungan Anda akan menjadi 3 x - 10 dolar, atau f (x) = 3 x - 10, dimana f adalah fungsi, dan x adalah nomor yang diterapkan fungsi ").

Abstrak aljabar     

Aljabar Abstrak memperluas konsep akrab ditemukan dalam aljabar dasar dan aritmatika dari nomor dengan konsep yang lebih umum.yaitu:

Set : Daripada hanya mengingat berbagai jenis nomor , berkaitan aljabar abstrak dengan konsep yang lebih       umum set: kumpulan dari semua obyek (disebut elemen ) yang dipilih oleh properti, khusus untuk mengatur. Semua koleksi jenis akrab angka ini adalah set. Contoh lain dari set termasuk himpunan semua dua-by-dua matriks , himpunan semua tingkat dua polinomial (ax 2 + bx + c), himpunan semua dua dimensi vektor di pesawat, dan berbagai kelompok terbatas seperti sebagai kelompok siklik yang merupakan kelompok bilangan bulat modulo n. teori Set adalah cabang logika dan tidak teknis cabang dari aljabar.

Operasi Biner : Gagasan penambahan (+) yang disarikan untuk memberikan operasi biner, * katakan. Gagasan operasi biner berarti tanpa set yang operasi didefinisikan. Untuk dua elemen a dan b pada himpunan S, a, b * adalah elemen lain dalam himpunan, kondisi ini disebut penutupan . Penambahan (+), pengurangan (-), perkalian (×), dan pembagian (÷) dapat biner operasi pada saat didefinisikan pada set yang berbeda, seperti penambahan dan perkalian matriks, vektor, dan polinomial.

elemen Identitas : Angka nol dan satu diabstraksikan untuk memberikan gagasan elemen identitas untuk operasi. Zero adalah elemen identitas untuk penambahan dan satu adalah elemen identitas untuk perkalian. Untuk operator * biner umum e elemen identitas harus memenuhi e * = a dan e * a = a. Hal ini berlaku untuk penambahan sebagai + 0 = a dan 0 + a = a dan perkalian a × 1 = a dan 1 × a = a. Tidak semua kombinasi set dan operator memiliki unsur identitas, misalnya, alam nomor positif (1, 2, 3, ...) tidak memiliki elemen identitas untuk penambahan.

elemen Invers : Angka negatif menimbulkan konsep elemen invers. Untuk penambahan, invers adalah -, dan untuk perkalian invers adalah 1 / a. Unsur invers umum, -1 harus memenuhi properti itu bahwa * a -1 = e dan -1 * e =.

Associativity : Penambahan bilangan bulat mempunyai sifat yang disebut associativity. Artinya, pengelompokan nomor yang akan ditambahkan tidak mempengaruhi jumlah tersebut. Sebagai contoh: 2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). (Secara umum, ini menjadi (a * b) * c = a * (b * c). Properti ini dimiliki oleh kebanyakan operasi biner, tetapi tidak pengurangan atau pembagian atau perkalian octonion .

Komutatif : Penambahan dan perkalian bilangan real keduanya komutatif. Artinya, urutan nomor tidak mempengaruhi hasil. Sebagai contoh: 2 +3 = 3 +2. Secara umum, ini menjadi a, b * = b * a. Properti ini tidak berlaku untuk semua operasi biner. Sebagai contoh, perkalian matriks dan perkalian angka empat sama-sama non-komutatif.
 

 

 

0 komentar: